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在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \angle A B C=120^{\circ}$, $\angle A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$, 且 $B D=2$, 则 $4 a+c$ 的最小值为
                        
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