已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_n=2 a_n+n-3$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $b_n=\left\{\begin{array}{l}k, n=a_k-1 \\ b_{n-1}+2 k, a_k-1 < n < a_{k+1}-1\end{array}, k \in N^*\right.$
(i) 当 $k \geq 2, n=a_{k+1}-1$ 时, 求证: $b_{n-1} \geq\left(a_k-1\right) \cdot b_n$;
(ii) 求 $\sum_{i=1}^{S_n-n} b_i$.