设总体 $X$ 具有概率密度函数 $f(x ; \alpha)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\alpha}{1-\alpha} x^{\frac{\alpha}{1-\alpha}-1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ 其中 $0 < \alpha < 1$ 是未知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自该总体的一个简单样本. (1) 求 $\alpha$ 的矩估计量 $\hat{\alpha}_1$ ；（2）求 $\alpha$ 的最大似然估计量 $\hat{\alpha}_2$ ；（3）令 $\hat{\alpha}_3=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$ ，求 $E\left(\hat{\alpha}_3\right)$.