定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $2 f(x)+x f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^2}, f(1)=0$, 则下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)$ 在 $x=\sqrt{ e }$ 处取得极大值, 极大值为 $\frac{1}{2 e }$
B. $f(x)$ 有两个零点
C. 若 $f(x) < k-\frac{1}{x^2}$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立, 则 $k>\frac{ e }{2}$
D. $f(1) < f(\sqrt{2}) < f(\sqrt{3})$