下列命题是真命题的是（）
A. 若 $\left(\frac{1}{2}\right)^x>1>4^y$, 则 $x+2 y < 0$
B. 若 $f(x+2)$ 的定义域为 $[0,2]$, 则 $y=f(x)$ 的定义域为 $[-2,0]$ ；
C. 函数 $y=\left\{\begin{array}{l}x(4-x), x \geq 0 \\ x(4+x), x < 0\end{array}\right.$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的单调递增奇函数
D. 记 $\min \{a, b\}$ 为实数 $a, b$ 的最小值, $\max \{a, b\}$ 为实数 $a, b$ 的最大值, 函数 $f_1(x)=x^2$, $f_2(x)=-x^2+4 x, f(x)=\min \left\{f_1(x), f_2(x)\right\}, g(x)=\max \left\{f_1(x), f_2(x)\right\}$ ，则 $f(x)$ 的最大值与 $g(x)$ 的最小值的差为 4 .