已知 $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, $\angle A=\frac{2 \pi}{3}, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=-2$, 则 $|\overrightarrow{A G}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=\frac{1}{3} \sqrt{(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})^2}$ 的最小值为
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{4}{9}$
C. $\frac{1}{9}$
D. $\frac{2}{3}$