己知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(0 < \omega < 2)$ 向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 得到函数 $g(x)$ 的图像, 若 $g(x)$ 是偶函数, 则
A. $g(x)$ 的最小正周期为 $\pi$
B. 点 $\left(\frac{2 \pi}{3}, 0\right)$ 是 $f(x)$ 图像的一个对称中心
C. $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 的值域为 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$
D. 函数 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上单调递增