已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,|\varphi| < \pi)$ 为奇函数, $g(x)=\cos \omega x+a$ ( $a$ 为常数), 且 $\forall x_1, x_2 \in \mathbf{R},\left|f\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right| \leq 2$ 恒成立. 设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象在 $y$ 轴右侧的交点依次为 $A_1, A_2, \cdots, O$ 为坐标原点, 若 $\triangle O A_1 A_2$ 的面积最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{16} \pi$, 且 $\angle A_1 O A_2$ 为针角, 则 $\omega$ 的取值范围是