已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\sqrt{3} \cos \omega x(\omega>0)$, 下列说法不正确的是（）
A. 函数 $f(x)$ 的值域为 $[-2,2]$
B. 若存在 $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$, 使得对 $\forall x \in \mathbf{R}$ 都有 $f\left(x_1\right) \leq f(x) \leq f\left(x_2\right)$, 则 $\left|x_1-x_2\right|$ 的最小值为 $\frac{2 \pi}{\omega}$
C. 若函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递增, 则 $\omega$ 的取值范围为 $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
D. 若函数 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 上恰有 3 个极值点和 2 个零点, 则 $\omega$ 的取值范围为 $\left(\frac{13}{6}, \frac{8}{3}\right]$