已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ 在 $\left(0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增, 在 $\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right]$ 上单调递减, 则 $f(x)$ 的一个对称中心可以为（）
A. $\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$
B. $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$
C. $\left(\frac{5}{3} \pi, 0\right)$
D. $\left(-\frac{2 \pi}{3}, 0\right)$