在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \angle A B C=\frac{\pi}{3}$, 内角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ 且 $B D=\sqrt{3}$,则下列结论正确的是（）
A. $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=1$
B. $b$ 的最小值是 2
C. $a+3 c$ 的最小值是 $4 \sqrt{3}$
D. $\triangle A B C$ 的面积最小值是 $\sqrt{3}$