如图, 在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $M, N$ 分别是 $A B, A D$ 的中点, $P$ 为线段 $C_1 D_1$ 上的动点 (不含端点), 则下列结论中正确的是 ( )
A. 三棱锥 $M-P N C$ 的体积为定值
B. 异面直线 $B C$ 与 $M P$ 所成的最大角为 $45^{\circ}$
C. 不存在点 $P$ 使得 $M N \perp N P$
D. 当点 $P$ 为 $C_1 D_1$ 中点时, 过 $M 、 N 、 P$ 三点的平面截正方体所得截面面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} a^2$