下列命题正确的有（）
A. 若复数 $z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$ 在复平面上对应的点在虚轴上, 则 $a=0$
B. 复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$, 则 $z \in \mathbf{R}$ 的一个充要条件是 $z=\bar{z}$
C. 若 $\left(x^2-1\right)+\left(x^2-2 x-3\right) \mathrm{i},(x \in \mathbf{R})$ 是纯虚数, 则实数 $x= \pm 1$
D. 关于 $x$ 的方程 $x^2+2 x+3=0$ 在复数范围内的两个根互为共轭复数