己知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，其导函数是 $f^{\prime}(x)$ 。有 $f^{\prime}(x) \cos x+f(x) \sin x < 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f(x) < 2 f\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x$ 的解集为 ( )
A. $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$
B. $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$
C. $\left(-\frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)$
D. $\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right)$