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已知 $m>n>1$, 则下列不等式正确的是（）
A. $\frac{n+2}{m+2} < \frac{n}{m}$
B. $m+\frac{1}{m}>n+\frac{1}{n}$
C. $m+n>2 m n$
D. $m+\frac{1}{n}>n+\frac{1}{m}$
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