已知函数 $f(x)=\frac{x^2+3 x+1}{\mathrm{e}^x}$, 其中 $x \in \mathbf{R}$, 则 $(\quad)$
A. 不等式 $f(x) \geq-\mathrm{e}^2$ 对 $\forall x \in \mathbf{R}$ 恒成立
B. 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 有且只有两个实根, 则 $k$ 的取值范围 $\left(-\mathrm{e}^2, 0\right]$
C. 方程 $f(f(x))=0$ 恰有 3 个实根
D. 若关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geq a x$ 恰有 1 个正整数解, 则 $a$ 的取值范围为 $\left(\frac{11}{2 \mathrm{e}^2}, \frac{5}{\mathrm{e}}\right]$