八年级课外兴趣小组活动时, 老师提出了如下问题:
将 $2 a-3 a b-4+6 b$ 因式分解.
【观察】经过小组合作交流, 小明得到了如下的解决方法:
解法一: 原式 $=(2 a-3 a b)-(4-6 b)=a(2-3 b)-2(2-3 b)=(2-3 b)(a-2)$
解法二: 原式 $=(2 a-4)-(3 a b-6 b)=2(a-2)-3 b(a-2)=(a-2)(2-3 b)$
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时, 我们可以将多项式分为若干组, 再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的, 这就是因式分解的分组分解法. 分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用. (温馨提示: 因式分解一定要分解到不能再分解为止)
【类比】
(1) 请用分组分解法将 $x^2-a^2+x+a$ 因式分解;
【挑战】
(2)请用分组分解法将 $a x+a^2-2 a b-b x+b^2$ 因式分解;
【应用】
(3)"赵爽弦图"是我国古代数学的骄傲, 我们利用它验证了勾股定理. 如图, "赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形, 中间是一个小正方形. 若直角三角形的两条直角边长分别是 $a$ 和 $b(a>b)$, 斜边长是 3, 小正方形的面积是 1 . 根据以上信息, 先将 $a^4-2 a^3 b+2 a^2 b^2-2 a b^3+b^4$ 因式分解, 再求值.
将 $2 a-3 a b-4+6 b$ 因式分解.
【观察】经过小组合作交流, 小明得到了如下的解决方法:
解法一: 原式 $=(2 a-3 a b)-(4-6 b)=a(2-3 b)-2(2-3 b)=(2-3 b)(a-2)$
解法二: 原式 $=(2 a-4)-(3 a b-6 b)=2(a-2)-3 b(a-2)=(a-2)(2-3 b)$
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时, 我们可以将多项式分为若干组, 再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的, 这就是因式分解的分组分解法. 分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用. (温馨提示: 因式分解一定要分解到不能再分解为止)
【类比】
(1) 请用分组分解法将 $x^2-a^2+x+a$ 因式分解;
【挑战】
(2)请用分组分解法将 $a x+a^2-2 a b-b x+b^2$ 因式分解;
【应用】
(3)"赵爽弦图"是我国古代数学的骄傲, 我们利用它验证了勾股定理. 如图, "赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形, 中间是一个小正方形. 若直角三角形的两条直角边长分别是 $a$ 和 $b(a>b)$, 斜边长是 3, 小正方形的面积是 1 . 根据以上信息, 先将 $a^4-2 a^3 b+2 a^2 b^2-2 a b^3+b^4$ 因式分解, 再求值.