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设函数 $g(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续可微， $g(0)=0$ ，试证:

$$
\int_0^a\left|g(x) g^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{a}{2} \int_0^a\left|g^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x
$$


其中等号成立当且仅当 $g(x)=c x$ ( $c$ 为常数) 时成立.
                        
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