设函数 $y=f(x)$ 定义域为 $D$, 若存在 $x, y \in D$ ，且 $x \neq y ，$ 使得 $2 f\left(\frac{x+y}{2}\right)=f(x)+f(y)$ ，则称函数 $y=f(x)$ 是 $D$ 上的 " $S$ 函数"，下列函数是" $S$ 函数"的是
A. $y=2^{x}$
B. $y=x-\sin x+1$
C. $y=\ln x$
D. $y= \begin{cases}\frac{1}{x}, & x>0 \\ 1, & x \leqslant 0\end{cases}$