设 $n$ 元线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$, 其中
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
2 a & 1 & & & \\
a^{2} & 2 a & 1 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & a^{2} & 2 a & 1 \\
& & & a^{2} & 2 a
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$
( I ) 证明行列式 $|\boldsymbol{A}|=(n+1) a^{n}$;
(II) 当 $a$ 为何值时, 该方程组有唯一解, 并求 $x_{1}$;
(III) 当 $a$ 为何值时, 该方程组有无穷多解, 并求通解.