设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为 3 维列向量, 矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 分别是 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 的转置. 证明:
(1) 秩 $r(\boldsymbol{A}) \leqslant 2$;
(2) 若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关, 则秩 $r(\boldsymbol{A}) < 2$.