11 分制乒乓球比赛规则如下: 在一局比赛中, 每两球交换发球权, 每赢一球得 1 分, 先得 11 分且至少领先 2 分者胜, 该局比赛结束：当某局比分打成 $10: 10$ 后, 每球交换发球权，领先 2 分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局 11 分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为 $\frac{2}{3}$, 乙发球时甲得分的概率为 $\frac{1}{2}$, 各球的比赛结果相互独立, 且各局的比赛结果也相互独立.
（1）若每局比赛甲获胜的概率 $p=\frac{2}{3}$, 求该场比赛甲获胜的概率.
（2）已知第一局目前比分为 $10: 10$, 求
(i) 再打两个球甲新增的得分 $X$ 的分布列和均值;
(ii) 第一局比赛甲获胜的概率 $p_0$;