对互质的正整数 $a, b$, 用 $\left(a^{-1} \bmod b\right)$ 表示满足 $a m \equiv 1(\bmod b)$ 且 $0 \leq m < $ $b$ 的唯一整数 $m$.
(1) 求证: 对任意两两互质的正整数 $a, b, c, 1 < a < b < c$, 都有
$$
\left(a^{-1} \bmod b\right)+\left(b^{-1} \bmod c\right)+\left(c^{-1} \bmod a\right)>\sqrt{a} .
$$
(2) 求证: 对任意正整数 $M$, 存在两两互质的正整数 $a, b, c$, 满足 $M < a < b < $ $c$, 且
$$
\left(a^{-1} \bmod b\right)+\left(b^{-1} \bmod c\right)+\left(c^{-1} \bmod a\right) < 100 \sqrt{a} .
$$