已知椭圆 $C$ 的焦点为 $F_{1}(-\sqrt{2}, 0), F_{2}(\sqrt{2}, 0)$, 且 $C$ 过点 $E(\sqrt{2}, 1)$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 设 $\mathrm{A}$ 为椭圆 $C$ 的右顶点, 直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, 且 $P, Q$ 均不是 $C$ 的左, 右顶点, $M$ 为 $P Q$ 的
中点. 若 $\frac{|A M|}{|P Q|}=\frac{1}{2}$, 试探究直线 $l$ 是否过定点? 若过定点, 求出该定点坐标; 若不过定点, 请说明理由.