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在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $A A_{1}=2, A B=\sqrt{3}$, 平面 $\alpha$ 经过点 $\mathrm{A}$, 且满足直线 $A A_{1}$ 与平面 $\alpha$ 所成 的角为 $30^{\circ}$, 过点 $A_{1}$ 作平面 $\alpha$ 的垂线, 垂足为 $H$, 则 $B H$ 长度的取值范围为
                        
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