设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\theta, & 0 < x < 1, \\ 1-\theta, & 1 \leqslant x < 2, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 是末知参数 $(0 < \theta < 1) . X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 记 $N$ 为样本值 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 中小于 1 的个数. 求 $\theta$ 的最大似然估计.