设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数, 且 $z=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足等式 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$.
(I) 验证 $f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$;
(II) 若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$, 求函数 $f(u)$ 的表达式.