已知 $O$ 为坐标原点, 曲线 $f(x)=a \ln x$ 在点 $P(1,0)$ 处的切线与曲线 $g(x)=\mathrm{e}^x+b$ 在点 $Q(0,1+b)$ 处的切线平行, 且两切线间的距离为 $\sqrt{2}$, 其中 $b \geq 0$.
(1) 求实数 $a, b$ 的值;
(2) 若点 $M, N$ 分别在曲线 $y=f(x), y=g(x)$ 上, 求 $\angle O N P$ 与 $\angle O M Q$ 之和的最大值;
(3) 若点 $A, B$ 在曲线 $y=f(x)$ 上, 点 $C, D$ 在曲线 $y=g(x)$ 上, 四边形 $A B C D$ 为正方形,其面积为 $S$, 证明: $S>2\left(\sqrt{\mathrm{e}}-\frac{1}{2}\right)^2$
附: $\ln 2 \approx 0.693$.