已知函数 $f(x)=x^{3}+k \ln x(k \in R), f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数.
(I) 当 $k=6$ 时,
(i) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(ii) 求函数 $g(x)=f(x)-f^{\prime}(x)+\frac{9}{x}$ 的单调区间和极值;
(II) 当 $k \ldots-3$ 时, 求证: 对任意的 $x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$, 且 $x_{1}>x_{2}$, 有
$$
\frac{f^{\prime}\left(x_{1}\right)+f^{\prime}\left(x_{2}\right)}{2}>\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}} .
$$