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我们知道, 二次函数的图像是抛物线, 它也可以这样定义: 若一个动点 $M(x, y)$ 到定点 $A\left(0, \frac{p}{2}\right)$的距离与它到定直线 $y=-\frac{p}{2}$ 的距离相等, 则动点 $M$ 形成的图形就叫抛物线 $x^2=2 p y(p>0)$.
(1) 已知动点 $M(x, y)$ 到定点 $A(0,4)$ 的距离与到定直线 $y=-4$ 的距离相等, 请写出动点 $M$形成的抛物线的解析式.
(2) 若点 $D$ 的坐标是 $(1,8)$, 在 (1) 中求得的抛物线上是否存在点 $P$, 使得 $P A+P D$ 最短?若存在, 求出点 $P$ 的坐标, 若不存在, 请说明理由.
                        
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