平面直角坐标系中，抛物线 $\mathrm{y}=-\frac{1}{3} x^2+a x+b(a$ ，均为常数）与 $\mathrm{y}$ 轴相交于点 $\mathrm{A}$ ，与 $x$ 轴相交于 $\mathrm{B}(-3 \sqrt{3}, 0), C(\sqrt{3}, 0)$ 两点，连接 $A B ，$ 过点 $C$ 作 $C D // A B$ 交抛物线于点 $D$.
(1) 求出该抛物线的函数表达式及点 $\mathrm{D}$ 的坐标;
(2) 如图1，已知点 $G$ 是线段 $A B$ 上方抛物线上一点，过点 $G$ 作 $G P \| y$ 轴交 $C D 于 P$ ，在线段 $A C$ 和线段 $C D$ 上分别有两个动点 $K 、 L$ ，且满足 $K L=2 ， M$ 是 $K L$ 的中点，当 $G P+D P$ 取得最大值时，在线段 $A B$ 上是否存在一点 $R$ ，使得 $R P+R M$ 的值最小? 若存在，请求出 $P$点的坐标以及 $R P+R M$ 的最小值; 若不存在，请说明理由.
(3) 如图2， $E$ 是线段 $B O$ 上一定点，且满足 $O E: O B=4 \sqrt{3}: 9$ ，连接 $A E$ ，将线段AE沿 $y$ 轴向下平移 6 个单位至 $H F$ ，连接 $E F ， T$是线段EF上一动点，点A、H同时绕点T逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，应对点分别是 $A^{\prime} 、 H^{\prime}$ 。在旋转过程中，当 $\Delta E A^{\prime} H^{\prime}$ 是直角三角形时，请直接写出此时A'的坐标.
(1) 求出该抛物线的函数表达式及点 $\mathrm{D}$ 的坐标;
(2) 如图1，已知点 $G$ 是线段 $A B$ 上方抛物线上一点，过点 $G$ 作 $G P \| y$ 轴交 $C D 于 P$ ，在线段 $A C$ 和线段 $C D$ 上分别有两个动点 $K 、 L$ ，且满足 $K L=2 ， M$ 是 $K L$ 的中点，当 $G P+D P$ 取得最大值时，在线段 $A B$ 上是否存在一点 $R$ ，使得 $R P+R M$ 的值最小? 若存在，请求出 $P$点的坐标以及 $R P+R M$ 的最小值; 若不存在，请说明理由.
(3) 如图2， $E$ 是线段 $B O$ 上一定点，且满足 $O E: O B=4 \sqrt{3}: 9$ ，连接 $A E$ ，将线段AE沿 $y$ 轴向下平移 6 个单位至 $H F$ ，连接 $E F ， T$是线段EF上一动点，点A、H同时绕点T逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，应对点分别是 $A^{\prime} 、 H^{\prime}$ 。在旋转过程中，当 $\Delta E A^{\prime} H^{\prime}$ 是直角三角形时，请直接写出此时A'的坐标.