王老师每天早上 7: 00 准时从家里出发去学校, 他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具中选择一个乘坐, 王老师多年积累的数据表明, 他到达学校的时间在这两种交通工具下的概率分布如下表所示:
(例如: 表格中 0.35 的含义是如果王老师当天乘地铁去学校, 则他到校时间在 $7: 35 - 7: 40$ 的概率为 0.35 ).
(1) 某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校, 若正面向上则坐地铁, 反面向上则坐汽车. 求他当天 7: 40-7: 45 到校的概率;
(2) 已知今天 (第一天) 王老师选择乘坐地铁去学校, 从第二天开始, 若前一天到校时间早于 7: 40 , 则当天他会乘坐地铁去学校, 否则当天他将乘坐汽车去学校. 且若他连续 10 天乘坐地铁, 则不论他前一天到校的时间是否早于 7: 40, 第 11 天他都将坐汽车到校. 记他从今天起 (包括今天) 到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为 $\mathrm{X}$, 求 $\mathrm{E}(\mathrm{X})$;
(3) 已知今天 (第一天) 王老师选择乘坐地铁去学校. 从第二天开始, 若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于 7: 40 , 则当天他会乘坐地铁去学校; 若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于 7: 40 , 则当天他会乘坐汽车去学校: 若他前一天乘坐汽车去学校, 则不论他前一天到校的时间是否早于 7: 40 , 当天他都会乘坐地铁去学校. 记 $P n$ 为王老师第 $\mathrm{n}$ 天坐地铁去学校的概率, 求 $P_{\mathrm{n}}$ 的通项公式.
(例如: 表格中 0.35 的含义是如果王老师当天乘地铁去学校, 则他到校时间在 $7: 35 - 7: 40$ 的概率为 0.35 ).
(1) 某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校, 若正面向上则坐地铁, 反面向上则坐汽车. 求他当天 7: 40-7: 45 到校的概率;
(2) 已知今天 (第一天) 王老师选择乘坐地铁去学校, 从第二天开始, 若前一天到校时间早于 7: 40 , 则当天他会乘坐地铁去学校, 否则当天他将乘坐汽车去学校. 且若他连续 10 天乘坐地铁, 则不论他前一天到校的时间是否早于 7: 40, 第 11 天他都将坐汽车到校. 记他从今天起 (包括今天) 到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为 $\mathrm{X}$, 求 $\mathrm{E}(\mathrm{X})$;
(3) 已知今天 (第一天) 王老师选择乘坐地铁去学校. 从第二天开始, 若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于 7: 40 , 则当天他会乘坐地铁去学校; 若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于 7: 40 , 则当天他会乘坐汽车去学校: 若他前一天乘坐汽车去学校, 则不论他前一天到校的时间是否早于 7: 40 , 当天他都会乘坐地铁去学校. 记 $P n$ 为王老师第 $\mathrm{n}$ 天坐地铁去学校的概率, 求 $P_{\mathrm{n}}$ 的通项公式.