拓扑学是一个研究图形 (或集合) 整体结构和性质的一门几何学, 以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来, 富有直观和逻辑. 已知平面 $E^2=\{(x, y) \mid \forall x, y \in R\}$, 定义对 $A_1\left(x_1, y_1\right), A_2\left(x_2, y_2\right)$, 其度量 (距离) $d\left(A_1, A_2\right)=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}$ 并称 $\left(E^2, d\right)$ 为一度量平面. 设 $x_0 \in\left(E^2, d\right), \varepsilon \in R^{+}$,称平面区域 $B\left(x_0, \varepsilon\right)=\left\{x \in\left(E^2, d\right) \mid d\left(x_0, x\right) < \varepsilon\right\}$ 为以 $x_0$ 为心, $\varepsilon$ 为半径的球形邻域.
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集;
(2)证明: $\left(E^2, d\right)$ 中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集;
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集. 证明： $\left(E^2, d\right)$ 的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集.