我们把 $a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots \cdots+a_n x^n=0$ (其中 $a_n \neq 0, n \in \boldsymbol{N}^*$ ）称为一元 $n$ 次多项式方程. 代数基本定理: 任何复系数一元 $n\left(n \in N^*\right)$ 次多项式方程 (即 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ 为实数) 在复数集内至少有一个复数根; 由此推得, 任何复系数一元 $n\left(n \in N^*\right)$ 次多项式方程在复数集内有且仅有 $n$ 个复数根（重根按重数计算). 那么我们由代数基本定理可知: 任何复系数一元 $n\left(n \in N^*\right)$ 次多项式在复数集内一定可以分解因式,转化为 $n$ 个一元一次多项式的积. 即 $a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots \cdots+a_n x^n=a_n\left(x-\alpha_1\right)^{k_1}\left(x-\alpha_2\right)^{k_2} \cdots(x-$ $\left.\alpha_m\right)^{k_m}$, 其中 $k, m \in N^*, k_1+k_2+\cdots \cdots+k_m=n, \alpha_1, \alpha_2, \ldots \ldots, \alpha_m$ 为方程 $a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots \cdots+$ $a_n x^n=0$ 的根. 进一步可以推出: 在实系数范围内 (即 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ 为实数), 方程 $a_0+a_1 x+$ $a_2 x^2+\cdots \cdots+a_n x^n=0$ 的有实数根, 则多项式 $a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots \cdots+a_n x^n$ 必可分解因式. 例如: 观察可知, $x=1$ 是方程 $x^3-1=0$ 的一个根, 则 $(x-1)$ 一定是多项式 $x^3-1$ 的一个因式, 即 $x^3-1=$ $(x-1)\left(a x^2+b x+c\right)$, 由待定系数法可知, $a=b=c=1$.
(1)解方程: $x^3-2 x+1=0$;
(2)设 $f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3$, 其中 $a_0, a_1, a_2, a_3 \in R^{+}$, 且 $a_0+a_1+a_2+a_3=1$.
（i）分解因式: $x-\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3\right)$;
(ii) 记点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 是 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=x$ 在第一象限内离原点最近的交点. 求证: 当 $a_1+2 a_2+$ $3 a_3 \leq 1$ 时, $x_0=1$.