三阶行列式是解决复杂代数运算的算法, 其运算法则如下: $\left|\begin{array}{lll}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right|=a_1 b_2 c_3+a_2 b_3 c_1+a_3 b_1 c_2-$ $a_3 b_2 c_1-a_2 b_1 c_3-a_1 b_3 c_2$. 若 $\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2\end{array}\right|$, 则称 $\vec{a} \times \vec{b}$ 为空间向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的叉乘, 其中 $\vec{a}=x_1 \vec{\imath}+$ $y_1 \vec{\jmath}+z_1 \vec{k}\left(x_1, y_1, z_1 \in R\right), \vec{b}=x_2 \vec{\imath}+y_2 \vec{\jmath}+z_2 \vec{k}\left(x_2, y_2, z_2 \in R\right)$ ， $\{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}$ 为单位正交基底. 以 $O$ 为坐标原点、分别以 $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ 的方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系, 已知 $A, B$ 是空间直角坐标系中异于 $O$ 的不同两点.
(1)
①若 $A(1,2,1), B(0,-1,1)$, 求 $O A \times O B$;
②证明: $\overrightarrow{O A} \times \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O B} \times \overrightarrow{O A}=\overrightarrow{0}$.
(2)记 $\triangle A O B$ 的面积为 $S_{\triangle A O B}$, 证明: $S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{O A} \times \overrightarrow{O B}|$.
(3)证明: $(\overrightarrow{O A} \times \overrightarrow{O B})^2$ 的几何意义表示以 $\triangle A O B$ 为底面、 $|\overrightarrow{O A} \times \overrightarrow{O B}|$ 为高的三棱椎体积的 6 倍.