多元导数在微积分学中有重要的应用. 设 $y$ 是由 $a, b, c \ldots$ 等多个自变量唯一确定的因变量, 则当 $a$ 变化为 $a+\Delta a$ 时, $y$ 变化为 $y+\Delta y$, 记 $\lim _{\Delta a \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta a}$ 为 $y$ 对 $a$ 的导数, 其符号为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} a}$. 和一般导数一样, 若在 $\left(a_1, a_2\right)$ 上, 已知 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} a}>0$, 则 $y$ 随着 $a$ 的增大而增大; 反之, 已知 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} a} < 0$, 则 $y$ 随着 $a$ 的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：(1)可加性: $\frac{d\left(y_1+y_2\right)}{d a}=\frac{d y_1}{d a}+\frac{d y_2}{d a}$;
(2)乘法法则: $\frac{d\left(y_1 y_2\right)}{d a}=y_2 \frac{d y_1}{d a}+$ $y_1 \frac{d y_2}{d a}$; (3)除法法则: $\frac{d\left(\frac{y_1}{y_2}\right)}{d a}=\frac{\left(y_2 \frac{d y_1}{d a}-y_1 \frac{d y_2}{d a}\right)}{y_2^2}$; (4)复合法则: $\frac{\mathrm{d} y_2}{\mathrm{~d} a}=\frac{\mathrm{d} y_2}{\mathrm{~d} y_1} \cdot \frac{\mathrm{d} y_1}{\mathrm{~d} a}$. 记 $y=e^x+\frac{1}{e^2 \ln x \frac{1}{2 e^2 e x}}$.
( $e=2.7182818 \cdots$ 为自然对数的底数),
(1)写出 $\frac{d y}{d x}$ 和 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} a}$ 的表达式;
(2) 已知方程 $y=0$ 有两实根 $x_1, x_2, x_1 < x_2$.
①求出 $a$ 的取值范围;
②证明 $\frac{d\left(x_1+x_2\right)}{d a}>0$, 并写出 $x_1+x_2$ 随 $a$ 的变化趋势.