对于无穷数列 $\left\{a_n\right\}$, “若存在 $a_m-a_k=t\left(m, k \in N^*, m>k\right)$, 必有 $a_{m+1}-a_{k+1}=t$,则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有 $P(t)$ 性质.
(1) 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=\left\{\begin{array}{cc}2 n & (n=1,2) \\ 2 n-5 & \left(n \geq 3, n \in N^*\right)\end{array}\right.$, 判断数列 $\left\{a_n\right\}$ 是否具有 $P(1)$ 性质?是否具有 $P(4)$ 性质?
(2) 对于无穷数列 $\left\{a_n\right\}$, 设 $T=\left\{x \mid x=a_j-a_i, i < j\right\}$, 求证: 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有 $P(0)$ 性质,则 $T$ 必为有限集;
(3) 已知 $\left\{a_n\right\}$ 是各项均为正整数的数列, 且 $\left\{a_n\right\}$ 既具有 $P(2)$ 性质, 又具有 $P(3)$ 性质,是否存在正整数 $N, k$, 使得 $a_N, a_{N+1}, a_{N+2}, \ldots, a_{N+k}, \ldots$ 成等差数列. 若存在, 请加以证明; 若不存在, 说明理由.