定义: 对于定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$ 和正数 $\alpha(0 < \alpha \leq 1)$, 若存在正数 $M$, 使得不等式 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leq M\left|x_1-x_2\right|^\alpha$ 对任意 $x_1, x_2 \in I$ 恒成立, 则称函数 $f(x)$在区间 $I$ 上满足 $\alpha$ 阶李普希兹条件，则下列说法正确的有
A. 函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上满足 $\frac{1}{2}$ 阶李普希兹条件
B. 若函数 $f(x)=x \ln x$ 在 $[1, e]$ 上满足一阶李普希兹条件, 则 $M$ 的最小值为 $e$
C. 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足 $M=k(0 < k < 1)$ 的一阶李普希兹条件, 且方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上有解 $x_0$, 则 $x_0$ 是方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上的唯一解
D. 若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上满足 $M=1$ 的一阶李普希兹条件, 且 $f(0)=f(1)$, 则对任意函数 $f(x), \forall x_1, x_2 \in[0,1]$, 恒有 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leq \frac{1}{2}$