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如图, 已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 2 , 点 $E, F, G, H$ 分别为棱 $A A_1, A_1 D_1$, $A_1 B_1, B_1 C_1$ 的中点, 且点 $E, F, G, H$ 都在球 $O$ 的表面上, 点 $P$ 是球 $O$ 表面上的动点, 当点 $P$到平面 $A D D_1 A_1$ 的距离最大时, 异面直线 $P E$ 与 $G H$ 所成角的余弦值的平方为
                        
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