已知双曲线 $C: \frac{x^2}{4}-y^2=1$, 点 $M(4,0)$, 经过点 $M$ 的直线交双曲线 $C$ 于不同的两点 $A 、 B$,过点 $A, B$ 分别作双曲线 $C$ 的切线, 两切线交于点 $E$. (二次曲线 $A x^2+B y^2=1$ 在曲线上某点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程为 $A x_0 x+B y_0 y=1$ )
(1)求证：点 $E$ 恒在一条定直线 $L$ 上;
(2)若两直线与 $L$ 交于点 $N, \overrightarrow{A N}=\lambda \overrightarrow{M A}, \overrightarrow{B N}=\mu \overrightarrow{M B}$, 求 $\lambda+\mu$ 的值;
(3)若点 $A 、 B$ 都在双曲线 $C$ 的右支上, 过点 $A 、 B$ 分别做直线 $L$ 的垂线, 垂足分别为 $P 、 Q$, 记 $\triangle A M P, \triangle B M Q$, $\triangle P M Q$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S_3$, 问: 是否存在常数 $m$, 使得 $S_1 S_2=m S_3^2$ ? 若存在, 求出 $m$ 的值; 若不存在,请说明理由.