(1) 已知 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(a x+b)]=0$.求 $a, b$.
(2) 设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，设函数 $g(x)$在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0$. 证明: 函数 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续.
(3) 用 (2) 的结论说明: $f(x)=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上一致连续.
(4) 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上可导，且存在常数 $a_1, a_2, b_1, b_2,\left(a_1 < a_2\right)$ ，使得
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[f(x)-\left(a_1 x+b_1\right)\right]=0 \\
& \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)-\left(a_2 x+b_2\right)\right]=0
\end{aligned}
$$
证明：对任意的 $c \in\left(a_1, a_2\right)$ ，存在 $\xi \in(-\infty,+\infty)$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=c .
$$