如图, 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右项点分别为 $A_1, A_2$, 左右焦点分别为 $F_1, F_2$, 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2},\left|F_1 F_2\right|=2 \sqrt{3}, O$ 为坐标原点.
(I) 求椭圆 $C$ 的方程;
(II) 设过点 $P(4, m)$ 的直线 $P A_1, P A_2$ 与椭圆分别交于点 $M, N$, 其中 $m>0$, 求 $\triangle O M N$ 的面积 $S$ 的最大值.
(I) 求椭圆 $C$ 的方程;
(II) 设过点 $P(4, m)$ 的直线 $P A_1, P A_2$ 与椭圆分别交于点 $M, N$, 其中 $m>0$, 求 $\triangle O M N$ 的面积 $S$ 的最大值.