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设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$. 证明:
(1) 当 $x \in(0,1)$ 时, $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}$;
(2) $\left|\int_0^1 f(x) d x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.
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