设函数 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$. 证
(1) 当 $x \in(0,1)$ 时，有
$|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2} ;$
(2) 证明: $\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.