数学试题讲解

如图, 某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏: 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处, 小球将自由下落, 小球在下落的过程中, 将 3 次遇到黑色障碍物, 已知小球每次遇到黑色障碍物时, 向左、右两边下落的概率都是

\frac{1}{2}

, 最后落入

A

袋或

B

袋中. 一次游戏中小球落入

A

袋记 1 分, 落入

B

袋记 2 分, 游戏可以重复进行. 游戏过程中累计得

n

分的概率为

P_{n}

.
( I ) 求

P_{1}, P_{2}, P_{3}

.
( II ) 写出

P_{n}

与

P_{n - 1}

之间的递推关系, 并求出

P_{n}

的通项公式.