如图, 某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏: 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处, 小球将自由下落, 小球在下落的过程中, 将 3 次遇到黑色障碍物, 已知小球每次遇到黑色障碍物时, 向左、右两边下落的概率都是 $\frac{1}{2}$, 最后落入 $A$ 袋或 $B$ 袋中. 一次游戏中小球落入 $\mathrm{A}$ 袋记 1 分, 落入 $\mathrm{B}$ 袋记 2 分, 游戏可以重复进行. 游戏过程中累计得 $\mathrm{n}$ 分的概率为 $P_n$.
( I ) 求 $P_1, P_2, P_3$.
( II ) 写出 $P_n$ 与 $P_{n-1}$ 之间的递推关系, 并求出 $P_n$ 的通项公式.