如图, 双曲线 $\mathrm{C}: x^2-y^2=a^2$ 的左右顶点为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{P}$ 为 $\mathrm{C}$ 右支上一点 (不包含顶点), $\angle P A B=\alpha, \angle P B A=\beta, \angle A P B=\gamma$, 直线 $l$ 与 $\mathrm{C}$ 的渐近线交于 $\mathrm{F} 、 \mathrm{G}, \mathrm{M}$ 为线段 $\mathrm{FG}$ 的中点, 则
A. 双曲线 $\mathrm{C}$ 的离心率为 $e=\sqrt{2}$
B. $\mathrm{P}$ 到两条渐近线的距离之积为 $a^2$
C. $\tan \alpha+\tan \beta+2 \tan \gamma=0$
D. 若直线 $l$ 与 $\mathrm{OM}$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$, 则 $k_1 k_2=1$