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设${\delta>0}$,$f(x)$在$\left[-\delta,\delta\right]$上有定义$,$$f(0)=1,$且满足
$${\lim_{x\to0}\frac{\ln\left(1-2x\right)+2xf\left(x\right)}{x^{2}}=0,}$$
证明$f(x)$在$x=0$处可导，并求$f^\prime(0).$
                        
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