【33939】 【 空间平面与直线的方程】 解答题 已知直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的方程 $$ L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1} \text { 和 } L_2: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1} \text {, } $$ 试求过 $\boldsymbol{L}_1$ 且平行于 $\boldsymbol{L}_2$ 的平面方程．

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【33938】 【 空间平面与直线的方程】 解答题 已 知 两 个 平 面 $\pi_1: x+2 y-z+1=0$ 和 $\pi_2: 2 x-y+2 z-1=0$ ，求： （1）这两个平面的夹角 $\theta$ 的余弦； （2）这两个平面的角平分面的方程．

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【33937】 【 空间平面与直线的方程】 解答题 求与原点的距离为 6 ，且在三个坐标轴上的截距之比为 $a: b: c=1: 3: 2$ 的平面方程．

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【33936】 【 空间平面与直线的方程】 解答题 设一平面经过原点及点 $(6,-3,2)$ ，且与平面 $4 x-y+2 z=8$垂直，求此平面的方程．

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【33935】 【 空间向量及其运算】 解答题 证明：$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2+(\mathbf{a} \times \mathbf{b})^2=|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2$ 。由此推导用三角形三边长 $a, b, c$ 计算三角形的面积公式，其中向量 $(\mathbf{a})^2=\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}$

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【33934】 【 空间向量及其运算】 解答题 设 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 不共面，且向量 $\mathbf{r}$ 满足 $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{r}=\alpha, \mathbf{b} \cdot \mathbf{r}=\beta, \mathbf{c} \cdot \mathbf{r}=\gamma $$ 那么有 $\mathbf{r}=\frac{1}{(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})}[\boldsymbol{\alpha}(\mathbf{b} \times \mathbf{c})+\boldsymbol{\beta}(\mathbf{c} \times \mathbf{a})+\gamma(\mathbf{a} \times \mathbf{b})]$ ．

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【33933】 【 空间向量及其运算】 解答题 设 $\mathrm{e}_1, \mathrm{e}_2, \mathrm{e}_3$ 不共面，证明：任一向量 $\mathbf{a}$ 可以表示成 $$ \mathbf{a}=\frac{1}{\left(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\right)}\left[\left(\mathbf{a}, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\right) \mathbf{e}_1+\left(\mathbf{a}, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1\right) \mathbf{e}_2+\left(\mathbf{a}, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\right) \mathbf{e}_3\right] . $$

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【33932】 【 空间向量及其运算】 解答题 证明： $\mathbf{a , b , c}$ 不共面当且仅当 $\mathbf{a} \times \mathbf{b , b} \times \mathbf{c , c} \times \mathbf{a}$ 不共面．

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【33931】 【 空间向量及其运算】 解答题 已知向量 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}, \angle A D B=\frac{\pi}{2}$ ． （1）证明 $\triangle B A D$ 的面积 $S_{\triangle B A D}=\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}||\vec{a} \times \vec{b}|}{2|\vec{b}|^2}$ ． （2）当 $\vec{a}, \vec{b}$ 间的夹角为何值时，$\triangle B A D$ 的面积最大，并求最大面积值．

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【33930】 【 空间向量及其运算】 解答题 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为两个非零向量，$|\vec{b}|=1,(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=\frac{\pi}{3}$ ，计算极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|\vec{a}+x \vec{b}|-|\vec{a}|}{x} . $$

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