题号:992    题型:填空题    来源:1997年全国硕士研究生招生考试试题
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}(\theta+1) x^{\theta}, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta > -1$ 是末知参数, $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的一个容量为 $n$ 的简单随机样本, 分别用矩估 计法和极大似然估计法求 $\theta$ 的估计量.
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答案:
【分析】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩, 此题中被估参数只有一个, 故只需 要用样本一阶原点矩 (样本均值) 来估计总体的一阶原点矩 (期望); 最大似然估计, 实质上就 是找出使似然函数最大的那个参数, 问题的关键在于构造似然函数.
【解析】(1) 矩估计
由期望的定义: $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x=\int_{0}^{1} x(\theta+1) x^{\theta} d x=\int_{0}^{1}(\theta+1) x^{\theta+1} d x$
$$
=(\theta+1) \int_{0}^{1} x^{\theta+1} d x=\left.(\theta+1) \frac{x^{\theta+2}}{\theta+2}\right|_{0} ^{1}=\frac{\theta+1}{\theta+2} .
$$
样本均值 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$, 用样本均值估计期望有 $E X=\bar{X}$, 即 $\frac{\theta+1}{\theta+2}=\bar{X}$, 解得末知参数

$\theta$ 的矩估计量为: $\hat{\theta}=\frac{2 \bar{X}-1}{1-\bar{X}}$.
(2) 最大似然估计
设 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 是相应于样本 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 的样本值, 则样本的似然函数为:
$$
L= \begin{cases}(\theta+1)^{n} \prod_{i=1}^{n} x_{i}^{\theta} & 0 < x_{i} < 1(i=1,2, \cdots, n) \\ 0 & \text { 其他. }\end{cases}
$$
当 $0 < x_{i} < 1$ 时, $\prod_{i=1}^{n} x_{i}^{\theta} > 0$, 又 $\theta > -1$, 故 $\theta+1 > 0$, 即 $(\theta+1)^{n} > 0$. 所以 $L(\theta) > 0$.
$$
\ln L=\ln \left[(\theta+1)^{n} \prod_{i=1}^{n} x_{i}^{\theta}\right]=n \ln (\theta+1)+\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}^{\theta}=n \ln (\theta+1)+\theta \sum_{i=1}^{n} \ln x_{i} .
$$
(由于 $\ln L$ 是单调递增函数, $L$ 取最大与 $\ln L$ 取最大取到的 $\theta$ 是一致的, 而加对数后能把连 乘转换成累加, 这样求导, 找极值比较方便)
$$
\frac{d \ln L}{d \theta}=\frac{n}{\theta+1}+\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i} .
$$
$$
\frac{d \ln L}{d \theta}=\frac{n}{\theta+1}+\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}=0,
$$
解得 $\theta$ 的最大似然估计值为 $\hat{\theta}=-1-\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}}$,
从而得 $\theta$ 的最大似然估计量为: $\hat{\theta}=-1-\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln X_{i}}$.
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