题号:989    题型:填空题    来源:1997年全国硕士研究生招生考试试题
已知 $\xi=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right]$ 是矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right]$ 的一个特征向量.
(i) 试确定㣍数 $a, b$ 及特征向量 $\xi$ 所对应的特征值;
(ii) 问$A$ 能否相似于对角阵? 说明理由.
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答案:
(I) 设 $\xi$ 是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda_{0}$ 的特征向量, 即 $A \xi=\lambda_{0} \xi$,
$$
\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 2 \\
5 & a & 3 \\
-1 & b & -2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]=\lambda_{0}\left[\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]
$$
(II) 将 (1) 解得的 $a=-3, b=0$ 代入矩阵 $A$, 得 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right]$.
其特征方程为 $|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2 & 1 & -2 \\ -5 & \lambda+3 & -3 \\ 1 & 0 & \lambda+2\end{array}\right|=(\lambda+1)^{3}=0$,
知矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=-1$.
由于
$$
r(-E-A)=r\left[\begin{array}{ccc}
-3 & 1 & -2 \\
-5 & 2 & -3 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right]=2
$$
从而 $\lambda=-1$ 只有一个线性无关的特征向量, 故 $A$ 不能相似对角化.
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